Dérivée seconde d'une fonction

Dérivée seconde d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f'$ est dérivable sur $I$, on note $(f')' =f''$ sa dérivée que l'on appelle dérivée seconde de $f$ sur $I$.

Exemples :

• Soit $f : x \mapsto 3x^2 + 5x + 7$ une fonction polynomiale, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,  $f'(x) = 6x + 5$

$f'$ est aussi une fonction polynomiale, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,  $f''(x) = 6$

• Soit $g: x \mapsto \cos(5x + 3)$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que composée de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

Soit $x \in \mathbb{R}$,  $g'(x) = -5\sin(5x + 3)$.

$g'$ est aussi dérivable en tant que composée de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Ainsi, soit $x \in \mathbb{R}$,  $g''(x) = -25\cos(5x + 3)$.

Propriétés

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$,

Si $u$ et $v$ sont dérivables deux fois sur $I$,

Alors $(\lambda u + v)$ et $(uv)$ sont deux fois dérivables sur $I$.