Dans un disque en carton de rayon $R$, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure $\alpha$ radians.
Annales : Bac S
On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle $\alpha$ pour obtenir un cône de volume maximal. On appelle $l$ le rayon de la base circulaire de ce cône et $h$ sa hauteur.
On rappelle que :
— le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire $A$ et de hauteur $h$ est $V=\dfrac{1}{3}A\times$ h .
— la longueur d’un arc de cercle de rayon $r$ et d’angle $θ$, exprimé en radians, est $rθ$.
1. On choisit $R = 20$ cm.
a. Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est $V (h) = \dfrac{1}{3}\pi (400−h^2)\times h$.
b. Justifier qu’il existe une valeur de $h$ qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.
c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de $\alpha$ au degré près.
2. L’angle $\alpha$ dépend-il du rayon $R$ du disque en carton ?
1.a) D’après le théorème de Pythagore, on a :
$l^2 = R^2 −h^2 = 20^2 −h^2 = 400−h^2 $.
L’aire de base vaut : $A =\pi\times l^2 = \pi (400−h^2) $ .
Le volume du cône est alors $V (h) = \dfrac{1}{3}\pi (400−h^2)\times h$ .
b) La fonction V est définie sur $[0 ; 20]$ et dérivable.
On a : $V (h) = \dfrac{1}{3}\pi (400h−h^3)$ donc
$V'(h) = \dfrac{1}{3}\pi (400−3h^2)$
$V' $admet deux racines $h_1 = -20\dfrac{\sqrt3}{3}$ et $h_2 = 20\dfrac{\sqrt3}{3}$
Seule $h_2$ appartient à $[0;20]$
On en déduit les variations de $V$ :
b) Le volume maximum est $V\left(20\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\approx 3 224 $ cm$^3$.
c) On sait que $l^2 = 400−h^2 $ donc comme $l$ est une longueur, on a : $l=\sqrt{400-h^2}$
Le volume du cône est maximal pour $h=h_2$. On en déduit ainsi la valeur de $l$ correspondante :
$l=\sqrt{400-{h_2}^2}$
$l=\sqrt{400-({20\dfrac{\sqrt3}{3}})^2}$
$l=20\dfrac{\sqrt6}{3}$
On en déduit ainsi le périmètre du cercle :
$p=2\pi\times l$
$p=40\pi\dfrac{\sqrt6}{3}$
La longueur du cercle de base est aussi la longueur de l’arc de cercle du carton restant après avoir ôté le secteur circulaire d’angle au centre $\alpha$ :
$p=R(2\pi-\alpha)$.
On en déduit : $20(2\pi-\alpha)=40\pi\dfrac{\sqrt6}{3}$
On isole $\alpha$ et on obtient :
$\alpha=2\pi\left(\dfrac{3-\sqrt3}{3}\right)$
En multipliant par $\dfrac{\pi}{180}$, on obtient la mesure de $\alpha$ en dégrés : $\alpha\approx 66,06°$
2) Reprenons les calculs précédents pour $R$ quelconque :
$l^2 = R^2 −h^2 $.
L’aire de base vaut : $A =\pi\times l^2 = \pi (R^2−h^2) $ .
Le volume du cône est alors $V (h) = \dfrac{1}{3}\pi (R^2−h^2)\times h$ .
b) La fonction V est définie sur $[0 ; 20]$ et dérivable.
On a : $V (h) = \dfrac{1}{3}\pi (R^2h−h^3)$ donc
$V'(h) = \dfrac{1}{3}\pi (R^2−3h^2)$
$V' $admet deux racines $h_1 = -R\dfrac{\sqrt3}{3}$ et $h_2 = R\dfrac{\sqrt3}{3}$
On sait que $l^2 = R^2−h^2 $ donc comme $l$ est une longueur, on a : $l=\sqrt{R^2-h^2}$
Le volume du cône est maximal pour $h=h_2$. On en déduit ainsi la valeur de $l$ correspondante :
$l=\sqrt{R^2-{h_2}^2}$
$l=R\dfrac{\sqrt6}{3}$
On en déduit ainsi le périmètre du cercle :
$p=2\pi\times l$
$p=2R\pi\dfrac{\sqrt6}{3}$
La longueur du cercle de base est aussi la longueur de l’arc de cercle du carton restant après avoir ôté le secteur circulaire d’angle au centre $\alpha$ :
$p=R(2\pi-\alpha)$.
On en déduit : $R(2\pi-\alpha)=2R\pi\dfrac{\sqrt6}{3}$
On isole $\alpha$ et on obtient :
$\alpha=2\pi\left(\dfrac{3-\sqrt3}{3}\right)$
Cette valeur ne dépend pas de $R$.