L'énoncé
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Question 1
Soit $x \in \mathbb{R}$, déterminer la dérivée de $\cos^3(x)$.
$3\cos^2(x)$
$-3\sin^2(x)$
$-3\sin(x)\cos^2(x)$
On pourra poser $u(x) = \cos(x)$
Question 2
Que vaut la dérivée de $\sqrt{x^2 +1}$ ?
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2 +1}}$
En effet, on pose $u(x)=x^2 +1$ et $v(x) = \sqrt{x}$.
$u$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$
$v$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
Or pour tout réel $x$, $u(x) > 0$. Donc l'image de $x$ par la fonction $u$ appartient à l'intervalle de définition de $v$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Ainsi, soit $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}\times 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
$\dfrac{2x}{\sqrt{x^2 +1}}$
$\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x^2 +1}}$
On pourra poser $u(x)=x^2 +1$
Question 3
Soit $x \in \mathbb{R}^*$,
Calculer la dérivée $\cos\left ( \dfrac{1}{x} \right )$
$\cos\left ( \dfrac{-1}{x^2} \right )$
$-\sin\left ( \dfrac{1}{x} \right )$
$\dfrac{\sin\left ( \dfrac{1}{x} \right )}{x^2}$
Soit $x \in \mathbb{R}^*$,
On pose $u(x) = \dfrac{1}{x}$.
$\cos(u)$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
Or $(\cos(u))' = -u' \sin(u)$ et $u'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.
Finalement, l'expression de la dérivée est $\dfrac{\sin\left ( \dfrac{1}{x} \right )}{x^2}$
On pourra poser $u(x) = \dfrac{1}{x}$
Question 4
Soit $x \in \mathbb{R}$,
Soient $u(x) = 3x + 1$ et $v(x) = x^2 + 1$.
Que vaut $u\circ v(x)$ ?
$9x^2 + 6x + 2$
$3x^2 + 4$
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On sait que $u\circ v = u[v(x)]$
Ainsi, $u\circ v = 3(x^2 + 1) + 1= 3x^2 + 4$
Ce n'est pas défini.
On se souviendra que $u \circ v = u[v(x)]$
Question 5
Soit $x \in \mathbb{R}$,
Soient $u(x) = 3x + 1$ et $v(x) = x^2 + 1$.
Que vaut $v\circ u(x)$ ?
$9x^2 + 6x + 2$
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On sait que $v\circ u = v[u(x)]$
Ainsi, $v\circ u = (3x+1)^2 + 1= 9x^2 + 6x +1 + 1 = 9x^2 + 6x + 2$
$3x^2 + 4$
Cela n'est pas défini.
On se rappellera que $v \circ u = v[u(x)]$.
On pose $u(x) = \cos(x)$.
Ainsi, $\cos^3(x) = u^3(x)$.
D'après le cours, $(u^3(x))' = 3u'(x)u^2(x)$.
On sait aussi que $u'(x) = -\sin(x)$
Finalement, l'expression de la dérivée vaut $-3\sin(x)\cos^2(x)$