Fiche de cours
Composée de deux fonctions
I) Définition
Afin d'aborder la notion de composée de fonctions, on donne un exemple de composée.
Exemple :
Soient $u : x \mapsto x^2$ et $v : x \mapsto 2x +3 $ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$,
La composée de $u$ par $v$ revient à appliquer à l'image de $x$ par $u$ la fonction $v$ :
$u : x \mapsto x^2 \mapsto v(x^2) = 2x^2 + 3$.
La fonction permettant de passer de $x$ à $2x^2 + 3$ est la fonction $v \circ u$, que l'on nomme $v$ rond $u$.
Définition :
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$.
On suppose que pour tout $x \in I$, $u(x) \in J$.
On définit la fonction $v \circ u$ sur $I$ par :$v \circ u(x) = v[u(x)]$ pour tout $x \in I$.
On remarque ici que $u(x)$ doit appartenir à l'intervalle de définition de $v$ sans quoi $v[u(x)]$ ne peut être calculé.
Remarque :
Dans le cas général, $v \circ u \neq u \circ v$.
En effet, on reprend les fonctions $u$ et $v$ de l'exemple précédent.
On sait que $v \circ u(x) = 2x^2 + 3$.
En outre, $u \circ v(x) = (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$