L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $4$ et d'écart type $\sqrt{2}$. Donner la majoration ou minoration la plus pertinente de $P(|X-4|\geq 2)$.
$\leq 0,5$
$\geq 0,5$
<0,5
>0,5
On pourra appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Question 2
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $4$ et d'écart type $\sqrt{2}$. Donner la majoration ou minoration la plus pertinente de $P(2< X < 6)$.
$\leq 0,5$
$\geq 0,5$
$ P(2< X < 6) = P( -2 < X - 4 < 2) = 1 - P(|X-4| \geq 2)$.
Or d'après la question précédente, $P(|X-4| \geq 2) \leq 0,5$
Ainsi $P(2< X < 6) = 1 - P(|X-4| \geq 2) \geq 1 - 0,5 = 0,5$
<0,5
>0,5
On pourra se ramener à une autre écriture pour appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Question 3
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $4$ et d'écart type $\sqrt{2}$. Donner la majoration ou minoration la plus pertinente de $P(X \geq 2)$.
$\geq 0,5$
On sait que $P(X \geq 2) \geq P(2< X < 6)$.
Or $ P(2< X < 6) \geq 0,5$ d'après la question précédente donc $P(X \geq 2) \geq 0,5$
$\leq 0,5$
<0,5
>0,5
On utilisera les questions précédentes.
Question 4
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $4$ et d'écart type $\sqrt{2}$. Donner la majoration ou minoration la plus pertinente de $P(X \leq 2)$.
$\geq 0,5$
$\leq 0,5$
D'après la question précédente, $P(X \geq 2 ) \geq 0,5$.
Or $ P(X \leq 2 ) =1 - P(X \geq 2 )$
Donc, $ P(X \leq 2 ) \leq 1 - 0,5 = 0,5$
>0,5
<0,5
Utiliser la question précédente.
Question 5
Soit $X$ une variable aléatoire quelconque d'écart type $\sigma$ et d'espérance $\mu$,
Quel coefficient minore $P(X \in ]\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma [)$ ?
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{8}{9}$
$\dfrac{3}{4}$
En effet,
$P\big(X \in\big ]\mu - 2\epsilon, \mu + 2\epsilon \big [ \big) =P\big( |X -\mu | < 2\sigma \big) = 1 - P\big( |X -\mu | > 2\sigma \big)$
Or $P\big( |X -\mu | > 2\sigma \big) \leq \dfrac{V}{4\sigma^2} = \dfrac{V}{4V} = \dfrac{1}{4}$
Ainsi $P\big( |X -\mu | < 2\sigma \big) \geq 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$P(|X - 4| \geq 2) = P(|X - \mu| \geq \epsilon )$, avec $\mu = 4$ et $\epsilon = 2$.
On a alors d'après l'inégalité $ P(|X - 4| \geq 2) \leq \dfrac{V}{2^2} = \dfrac{\sqrt{2}^2}{4} = \dfrac{1}{2}$