Fiche de cours
Inégalité de Bienaymé Tchebychev
Propriété :
Cette inégalité fut découverte par Bienaymé en 1856 puis popularisée par Tchebychev, grâce à l'utilisation de la loi des grands nombres.
Soit $X$ une variable aléatoire admettant comme espérance $\mu$ et comme variance $V$,
Pour tout $\epsilon > 0$, on a :
$P(|X - \mu|) \geq \epsilon ) \leq \dfrac{V}{\epsilon^2}$
Interprétation
Cette inégalité permet de donner des minorations ou des majorations. On peut remarquer aussi que cette inégalité n'a du sens que lorsque $\epsilon > \sigma$ car sinon, cela revient à majorer $P(|X - \mu|) \geq \epsilon )$ par un nombre plus grand que 1 ce qui n'est pas utile car une probabilité est toujours inférieure à 1.
Exemple 1:
Le nombre de pièces sortant d'une usine en une journée est une variable aléatoire $X$ d'espérance $50$ et d'écart type $5$. Quelle est la probabilité que la production de demain dépasse $75$ pièces ?
On essaie d'estimer $P(X \geq 75)$ en se ramenant au cas de l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
$P(X \geq 75) = P(X - 50 \geq 75 - 50) $
$P(X \geq 75) = P(X -