L'énoncé
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Question 1
Rappeller la formule de l'intégration par parties.
$\displaystyle \int_a^b u'v \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \text{d}t $
$\displaystyle \int_a^b u'v \text{d}t = \big [u'v' \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \text{d}t $
$\displaystyle \int_a^b u'v \text{d}t = \big [u'v' \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b u'v \text{d}t $
On pourra revoir la vidéo du cours au besoin.
Question 2
Que vaut $\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x) \, \text{d}x$ ?
$\displaystyle \int_0^\pi \dfrac{x^2}{2} \cos(x) \, \text{d}x$
-$\displaystyle \int_0^\pi \dfrac{x^2}{2} \cos(x) \, \text{d}x$
En effet, on pose $u' = x$ et $v = \sin(x)$.
Or, $u$ et $v$ sont dérivables et $u = \dfrac{x^2}{2}$.
Ainsi, $\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x) \, \text{d}x = \big[\dfrac{x^2}{2}\sin(x)\big]^0_\pi - \displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{x^2}{2} \cos(x) \, \text{d}x$.
Cela ne permet cependant pas de conclure.
$\pi + \displaystyle \int_0^\pi \cos(x) \, \text{d}x$
En effet, on pose $u' = \sin(x)$ et $v = x$.
Or, $u$ et $v$ sont dérivables et $u =- \cos(x)$.
Ainsi, $\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x) \, \text{d}x = \big[-x\cos(x)\big]^0_\pi + \displaystyle \int_0^{\pi} \cos(x) \, \text{d}x $.
Au final, on montre que $\displaystyle \int_0^\pi x\sin(x) \, \text{d}x = \pi$ car $\displaystyle \int_0^{\pi} \cos(x) \, \text{d}x = 0$.
On pourra se demander que peuvent valoir $u$ et $v$.
Question 3
Que vaut $\displaystyle \int_1^x \ln(t) \, \text{d}t$ ?
$e^x$
On ne peut pas savoir car il n'est pas possible d'utiliser une intégration par parties.
$\big [t\ln(t)\big]_1^x - \displaystyle \int_1^x 1\, \text{d}t$
En effet, on peut remarquer $\ln(t) = 1 \times \ln(t)$. Ainsi, on pose $u' = 1$ et $v = \ln(t)$.
Ainsi, $\displaystyle \int_1^x \ln(t) \, \text{d}t = \big [t\ln(t)\big]_1^x - \displaystyle \int_1^x t \times \dfrac{1}{t}\, \text{d}t = \big [t\ln(t)\big]_1^x - \displaystyle \int_1^x 1\, \text{d}t$
On peut remarquer que $\ln(t) = 1 \times \ln(t)$.
Question 4
Que vaut $\displaystyle \int_0^1 xe^x \text{d}x$ ?
$\big[x^2e^x\big]_0^1-\displaystyle \int_0^1 x^2 \text{d}t$
$\big[\dfrac{x^2}{2}e^x\big]_0^1-\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2}{2}e^x \text{d}t$
On pose pour cela $u' = x$ et $v = e^x$.
$u$ et $v$ sont dérivables sur $[0; 1]$ et $u = \dfrac{x^2}{2}$.
Ainsi, $\displaystyle \int_0^1 xe^x \text{d}x = \big[\dfrac{x^2}{2}e^x\big]_0^1-\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2}{2}e^x \text{d}t$
$\dfrac{\pi}{2}$
Aucune des réponses ci-dessus.
On pourra se demander quel choix a t on pour $u$ et $v$.
Question 5
Soit $P(t)$ une fonction polynomiale, peut-on calculer facilement $\displaystyle \int_a^b P(t)e^t \, \text{d}t$ ?
Oui
En effet, on réalise ce calcul par intégration par parties successives en posant à chaque fois $u' = e^t$ et $v = P(t)$. L'intérêt est que la dérivation de $P(t)$ réduit le degré du polynôme (par exemple la dérivée de $x^2$ est $2x$ : la dérivation a permis de passer d'un polynôme du second degré à un polynôme du premier degré).
Non
Cela dépend si $P(t)$ fait intervenir des fonctions trigonométriques.
Une fonction polynomiale est une somme linéaire de monômes de la forme $\alpha_nx^n$ où $\alpha_n$ est un réel et $n$ un entier naturel.
C'est en effet la formule du théorème. Pour être rigoureux, il faudrait ajouter que $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[a; b].$