L'énoncé
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[1 ; +\infty\right[\) par \(f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}\)
Et soit \(H\) la fonction définie sur \(\left[1 ; +\infty\right[\) par \(H(x)=\displaystyle\int_1^x\, f(t)dt\)
Question 1
Justifier que \(f\) et \(H\) sont bien définies sur \(\left[1 ; +\infty\right[\).
On a : \(f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}\) .
Comme \(e^x>1\) sur \(\left[1 ; +\infty\right[\),\(e^x-1\neq 0\) donc \(f\) existe et est continue sur \(\left[1 ; +\infty\right[\).
\(f\) admet donc une primitive \(F\) et on note que \(H( x ) = F ( x ) - F ( 1 )\) existe sur \(\left[1 ; +\infty\right[\)
\(f\) est continue sur son ensemble de définition car c’est un quotient de deux…….
\(f\) est continue donc elle admet une primitive \(F\). On remarque que \(H(x)=F(x)-F(1)\).
Que peut-on en déduire pour \(H(x)\) ?
Question 2
Quelle relation existe-t-il entre \(H\) et \(f\) ?
Grâce au cours nous savons que :\(H'( x ) = F '( x ) - 0 = f ( x )\)
Pour cela, utilisez que \(H(x)=F(x)-F(1)\).
Remarquez que \(F’(x)=f(x)\) car \(F\) est une primitive de \(f\) et que \(F(1)\) est une constante donc de dérivée nulle.
Question 3
Soit C la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(( O ; \vec{i}, \vec{j} )\) du plan.
Interpréter en termes d'aire le nombre \(H( 3 )\).
\(f\) est un fonction positive sur son ensemble de définition donc \(H( 3 )\) est l'aire du domaine, exprimée en unités d'aire, délimité par \(C_f\), l'axe \((Ox)\) et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 3\).
Connaissez-vous l’interprétation géométrique d’une intégrale ? Voir la vidéo de rappel via les pré-requis.
Question 4
On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre \(H( 3 )\).
Montrer que pour tout réel \(x > 0\), \(\dfrac{x}{e^x-1}=x\times \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\)
Multiplions \(f ( x )\) par \(e^{-x}\) au numérateur et au dénominateur :
\(f(x)=\dfrac{xe^{-x}}{(e^x-1)e^{-x}}=x\times \dfrac{e^{-x}}{e^x\times e^{-x}-e^{-x}}=x\times\dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\)
\(e^{-x}\) bien sur..
Question 5
Montrer que si \(1 \leq x \leq 3\), alors :
\(\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)\leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln \left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)\)
La fonction \((1-e^{-x})\) est strictement positive si \(1 \leq x \leq 3\)
Or : \((\ln(1-e^{-x}))'=\dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}>0\)
\(\ln(1-e^{-x})\) est croissante sur \([1;3]\) d'où
\(\ln(1-e^{-1}) \leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln(1-e^{-3})\)
\(\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)\leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln \left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)\)
Point méthode :
On montre que \(\ln(1-e^{-x})\) est une fonction croissante sur \(\left[1 ; +\infty \right[\) et en particulier sur \(\left[1 ;3\right]\).
Ainsi \(1\leq x \leq 3\) implique \(\ln(1-e^{-1}) \leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln(1-e^{-3})\).
Autre méthode : Partez de l’encadrement de \(x\) proposé et utilisez la croissance de l’exponentielle pour montrer que \(e\leq e^x\leq e^3\).
Passez à l’inverse.
Multipliez tout par $-1$. (en changeant le sens des inégalités)
Ajoutez $1$.
Utilisez la croissance du log népérien.
Question 6
En déduire un encadrement de \(\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx\) puis de \(\displaystyle \int_1^3 f(x)dx\)
On admettra que : \(\displaystyle \int_1^3 f(x) dx = 3\ln\left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)-\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)-\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x}) \,dx\)
On intègre :
\((3-1)\ln(1-e^{-1}) \leq \displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx \leq (3-1)\ln(1-e^{-3}) \)
soit : \(-2\ln(1-e^{-3}) \leq \displaystyle -\int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx \leq -2\ln(1-e^{-1})\)
Ainsi : \(3\ln(1-e^{-3})-\ln(1-e^{-1})-2\ln(1-e^{-3}) \leq \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \)
et \( \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \leq 3\ln(1-e^{-3})-\ln(1-e^{-1})-2\ln(1-e^{-1})\)
et enfin \(\ln\left(\dfrac{1-e^{-3}}{1-e^{-1}}\right) \leq \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \leq 3\ln\left(\dfrac{1-e^{-3}}{1-e^{-1}}\right) \)
\(\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{e^3-1}{e^3-e^2}\right) \leq \displaystyle \int_1^3 f(x)dx \leq 3\ln\left(\dfrac{e^3-1}{e^3-e^2}\right)\)
Point méthode :
On intègre l'inégalité précédente pour obtenir un encadrement de \(\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx\).