L'énoncé
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier d’arête égale à 10 cm. Les points \(I\), \(J\), \(K\), \(L\), \(M\) et \(N\) sont les milieux des arêtes du tétraèdre. L’objectif est de calculer le volume et l’aire latérale du solide \(IJKLMN\).
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Question 1
Comparez la longueur \(IJ\) et la longueur \(BC\).
\(IJ = BC\)
\(IJ = \dfrac{BC}{2}\)
\(IJ = 2BC\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Connaissez-vous la propriété de la droite des milieux ?
Question 2
On observe à présent le solide \(IJLMNK\). Sachant que toutes les arêtes ont la même longueur et que ses faces sont des triangles équilatéraux, Comment se nomme t-il ?
Un icosaèdre régulier.
Un dodécaèdre régulier.
Un octaèdre régulier.
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Comptez le nombre de faces identiques.
Comment nomme-t-on un homme âgé de 80 ans ?
Un octogénaire…
Question 3
Calculez l'aire \(A_{BCD}\) de la base du tétraèdre.
\(A_{BCD} = 50\sqrt{5} cm^2\)
\(A_{BCD} = 5\sqrt{3} cm^2\)
\(A_{BCD} = 25\sqrt{3} cm^2\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Il y a plusieurs étapes de calcul. Commencez par chercher la longueur \(BM\) par exemple.
Il y a un joli triangle rectangle car médianes et médiatrices sont confondues dans un triangle équilatéral.
Vous pouvez à présent calculer l’aire du triangle équilatéral en choisissant \(CD\) comme longueur de base.
Question 4
On s'intéresse à la figure suivante, sans la représentation de loctaèdre \(IJKLMN\).
On note \(H\) le pied de la hauteur du tétraèdre. Calculez \(BH\).
\(BH = \dfrac{1}{2} \times BM = \dfrac{5}{2}\sqrt{3} cm\)
\(BH = \dfrac{1}{3} \times BM = \dfrac{5}{3}\sqrt{3} cm\)
\(BH = \dfrac{2}{3} \times BM = \dfrac{10}{3}\sqrt{3} cm\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
\(H\) est le point de concours des médianes de \(ABD\).
Savez-vous quelle est la position du centre de gravité d’un triangle sur chacune de ses médianes ?
Vous pouvez revoir la vidéo sur les droites remarquables.
Question 5
\(BH = \dfrac{10}{3}\sqrt{3} cm\)
Calculez à présent la longueur \(AH\).
\(AH = 10\sqrt{\dfrac{2}{3}} cm\)
\(AH = 100\sqrt{\dfrac{2}{3}} cm\)
\(AH = 10\sqrt{\dfrac{5}{3}} cm\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\).
Question 6
Sachant que \(A_{BCD} = 25\sqrt{3} cm^2\) et que la hauteur \(AH\) vaut \(10\sqrt{\dfrac{2}{3}}\) cm, calculez le volume \(V\) du tétraèdre.
\(V = \dfrac{250}{3} \times \sqrt{3} cm^3\)
\(V = \dfrac{125}{3} \times \sqrt{2} cm^3\)
\(V = \dfrac{250}{3} \times \sqrt{2} cm^3\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Connaissez-vous la formule du volume d’une pyramide ? C’est dans votre cours.
Un tétraèdre est en effet, une pyramide à base triangulaire.
Question 7
On remarque que le volume de l'octaèdre \(IJKLMN\) est celui du tétraèdre \(ABCD\) auquel on enlève quatre volumes identiques de quatre plus petits tétraèdres.
On en a représenté un ici : le tétraèdre \(LINB\). Quel est son volume \(V\) ?
\(V’ = \dfrac{1}{8} \times V = \dfrac{125}{12} \times \sqrt{2} cm^3\)
\(V’ = \dfrac{1}{4} \times V = \dfrac{125}{6} \times \sqrt{2} cm^3\)
\(V’ = \dfrac{1}{2} \times V = \dfrac{125}{3} \times \sqrt{2} cm^3\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Par quel facteur a-t-on multiplié les dimensions de \(ABCD\) pour obtenir celle de \(LINB\) ?
Par \(\dfrac{1}{2}\) bien sûr.
Comment trouver \(V’\) astucieusement sachant cela et connaissant \(V\) le volume du tétraèdre \(ABCD\) ?
Question 8
Sachant que \(A_{BCD} = 25\sqrt{3} cm^2\)
Calculez l'aire latérale \(A_1\) de l'octaèdre \(IJKLMN\).
\(A_1=50\sqrt{3} cm^2\)
\(A_1=25\sqrt{3} cm^2\)
\(A_1=125\sqrt{3} cm^2\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Commencez par calculer l’aire d’une de ses faces. Il y en a 8 !
On connaît l’aire de \(BCD\) et les dimensions sont deux fois plus petites.
Donc l’aire est…
Quatre fois plus petite.
Question 9
\(V = \dfrac{250}{3} \times \sqrt{2} cm^3\)
\(V = \dfrac{125}{12} \times \sqrt{2} cm^3\)
Calculez le volume \(V_1\) de l'octaèdre \(IJKLMN\).
\(V_1=V-4V'= \dfrac{125}{3} \times \sqrt{2} cm^3\)
\(V_1=V-4V'= 250 \times \sqrt{2} cm^3\)
\(V_1=V-4V'= \dfrac{250}{3} \times \sqrt{2} cm^3\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
On ne travaille qu’avec des valeurs exactes.
Il y a quatre petits tétraèdres comme \(LINB\).
Question 10
\(V = \dfrac{125}{12} \times \sqrt{2} cm^3\)
\(V_1=V-4V'= \dfrac{125}{3} \times \sqrt{2} cm^3\)
Supposons que l'arête de \(ABCD\) ait mesuré 2 cm. Quel aurait été le volume de l'octaèdre ?
\(V_1=5 \dfrac{\sqrt{2}}{3} cm^3\)
\(V_1= 25 \dfrac{\sqrt{2}}{3} cm^3\)
\(V_1= \dfrac{\sqrt{2}}{3} cm^3\)
Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
Si les dimensions sont multipliées par \(\dfrac{1}{5}\), alors le volume est multiplié par…
Le cube de \(\dfrac{1}{5}\).