L'énoncé
Dans ce QCM, les fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$.
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Question 1
Sur quel intervalle (le plus réduit possible) peut-on étudier $f_1(x)=\cos\left(\dfrac{x}{3}\right)$ ?
On pourra ensuite étudier la fonction sur l'ensemble des réels en procédant à une symétrie et des translations.
$[0;\pi]$
$[0;3\pi]$
$[0;6\pi]$
$[0;2\pi]$
Etudier la périodicité de la fonction.
Etudier ensuite la parité de la fonction.
La fonction est $6\pi$ périodique : en effet, on vérifie que pour tout réel $x$, on a :
$f_1(x+6\pi)=\cos\left(\dfrac{x+6\pi}{3}\right)$
$f_1(x+6\pi)=\cos\left(\dfrac{x}{3}+2\pi\right)$
$f_1(x+6\pi)=f_1(x)$
La fonction est $6\pi$ périodique : on peut donc l'étudier sur $[-3\pi;3\pi]$
La fonction définie sur $\mathbb{R}$ est paire. En effet : $\cos\left(\dfrac{x}{3}\right) =\cos\left(\dfrac{-x}{3}\right)$.
La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées :
On étudie alors sur $[0;3\pi]$.
Question 2
Sur quel intervalle (le plus réduit possible) peut-on étudier la fonction : $f_2(x)=\sin\left(x +\dfrac{\pi}{2}\right)$?
$[0;\pi]$
$[0;3\pi]$
$[0;2\pi]$
$[0;6\pi]$
Etudier la périodicité de la fonction.
Etudier ensuite la parité de la fonction.
La fonction est $2\pi$ périodique. En effet :
$f_2(x+2\pi )=\sin\left(x+2\pi +\dfrac{\pi}{2}\right)$
$f_2(x+2\pi )=f_2(x)$
On peut l'étudier sur $[-\pi;\pi]$
La fonction est paire. En effet :
$f_2(-x)=\sin\left(-x +\dfrac{\pi}{2}\right)$
$f_2(-x)=f_2(x)$
La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. On étudie alors sur $[0;\pi]$.
Question 3
Quelle est la dérivée de $f_3(x)=\cos\left(3x +\dfrac{\pi}{6}\right)$ ?
$f'_3(x)=3\sin\left(3x +\dfrac{\pi}{6}\right)$
$f'_3(x)=-3\sin\left(3x +\dfrac{\pi}{6}\right)$
$f'_3(x)=-\sin\left(3x +\dfrac{\pi}{6}\right)$
$f'_3(x)=\sin\left(3x +\dfrac{\pi}{6}\right)$
Quand on dérive une composée de fonctions on applique la formule :
$(cos(u))'=-u'\times \sin(u) $.
La dérivée du cosinus est -sinus.
La dérivée de $3x +\dfrac{\pi}{6}$ est $3$.
La solution est donc $f'_3(x)=-3\sin\left(3x +\dfrac{\pi}{6}\right)$.
Question 4
Quelle est la dérivée de $f_4(x)=-3\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$ ?
$f'_4(x)=\dfrac{3}{2}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$f'_4(x)=\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$f'_4(x)=-\dfrac{3}{2}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$f'_4(x)=-\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$
Quand on dérive une composée de fonctions il faut dérivée la fonction principale que l'on multiplie par la dérivée de la fonction à l'intérieur.
$(-\sin(u))'=-u'\times \cos(u) $.
La dérivée du sinus est cosinus.
La dérivée de $\dfrac{x}{2}$ est $\dfrac{1}{2}$.
La solution est donc $f'_4(x)=-\dfrac{3}{2}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$
Question 5
Sur quel intervalle (le plus réduit possible) peut-on étudier $f_5(x)=\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ ?
$\left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right]$
$[0;3\pi]$
$\left[0;\dfrac{4\pi}{3}\right]$
$\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]$
Etudier la périodicité de la fonction.
Etudier ensuite la parité de la fonction.
La fonction est $\dfrac{2\pi}{3}$ périodique : En effet :
$f_5\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(3(x+\dfrac{2\pi}{3})+\dfrac{\pi}{2}\right)$
$f_5\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(3x+\dfrac{6\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}\right)$
$f_5\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{2}+2\pi\right)$
$f_5\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=f_5(x)$
On peut donc étudier la fonction sur $\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right]$ d'amplitude $\dfrac{2\pi}{3}$
La fonction est paire en effet : $\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-3x+\dfrac{\pi}{2}\right)$
La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées :
On étudie alors sur $\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]$.