L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
La mesure en radians d'un angle de $405°$ est :
\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(-\dfrac{7\pi}{4}\)
\(\dfrac{25\pi}{4}\)
$128$
Programme de seconde : il y a proportionnalité entre les degrés et les radians.
\(180 ° = \pi \:rad\) ou bien \(360 ° = 2 \pi \:rad\).
Pas de valeurs approchées !
Attention aux différentes mesures possibles pour un angle en radians.
Par proportionnalité : \(405°\) correspond à \(\frac{405 \pi}{180}rad\) soit à \(\frac{9 \pi}{4} rad\) mais \(\frac{9 \pi}{4} rad\) n'est pas une mesure proposée.
Or :
\(\frac{9 \pi}{4} = 2\pi +\frac{\pi}{4}\\ -\frac{7 \pi}{4} = \frac{ \pi}{4}-2\pi \\ \frac{25 \pi}{4} = 6\pi +\frac{ \pi}{4}= \frac{ \pi}{4} + 3\times 2\pi \)
Pas de valeurs approchées.
Question 2
Soit \(M\) le point du cercle trigonométrique \(\mathscr{C}\) associé au réel \(a =-\dfrac{4\pi}{5} \). Parmi les points associés aux réels donnés ci-dessous, quels sont ceux qui sont confondus avec le point \(M \) ?
\(\dfrac{6\pi}{5}\)
\(\dfrac{31\pi}{5} \)
\(\dfrac{\pi}{5} \)
\(-\dfrac{24\pi}{5} \)
il faut trouver toutes les mesures d'angles égales à \(2 \pi\) près parmi celles données.
\(\frac{6\pi}{5} =-\frac{4\pi}{5} + 2\pi \)
\(\frac{31\pi}{5} = -\frac{4\pi}{5} + 7\pi \) : donc proposition fausse.
\(\frac{\pi}{5} =-\frac{4\pi}{5} + \pi \) : donc proposition fausse.
\(-\frac{24\pi}{5} =-\frac{4\pi}{7} - 4\pi \)
Question 3
La mesure principale d'un angle de \(-\dfrac{7\pi}{5}\) est :
\(\dfrac{6\pi}{5}\)
\(-\dfrac{\pi}{5}\)
\(-\dfrac{2\pi}{5}\)
\(\dfrac{3\pi}{5}\)
Une mesure principale doit appartenir à l'intervalle \(]-\pi;\pi[\)
À partir de \(-\frac{7\pi}{5}\) ajoute ou soustrait \(2\pi\), puis \(4 \pi\) etc.
\(-\frac{7\pi}{5}= -\frac{10\pi}{5}+ \frac{3\pi}{5}\) soit \(\frac{7\pi}{5}=-2\pi+ \frac{3\pi}{5}\)
\(\frac{6\pi}{5} \notin \: ]-\pi;\pi[\)
Question 4
La valeur exacte de \(\sin(\frac{21\pi}{6})\) est :
\(1\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(-1\)
\(\dfrac{\sqrt 3}{2}\)
On évite d'utiliser la calculatrice pour trouver le résultat. On cherche à le démontrer !
Quelle est la mesure principale de \(\frac{21\pi}{6}\) ?
\(\sin (x + 2k\pi) = \sin(x)\)
Utilise alors le tableau des valeurs remarquables pour donner son cosinus.
\(\frac{21\pi}{6} =\frac{7\pi}{2} =\frac{8\pi}{2}- \frac{\pi}{2} = 4\pi - \frac{\pi}{2} \)
\(\sin(\frac{21\pi}{6}) =\sin(4\pi -\frac{\pi}{2} )=\sin(\frac{-\pi}{2}) \)
Question 5
Soit \(a = \dfrac{23\pi}{6}\). Alors :
\(\cos(a) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\) et \(\sin(a) = -\dfrac{1}{2}\)
\(\cos(a) = \dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\sin(a) = \dfrac{1}{2} \)
\(\cos(a) =\dfrac{1}{2}\) et \(\sin(a) = -\dfrac{\sqrt 3}{2}\)
\(\cos(a) = - \dfrac{\sqrt 3}{2}\) et \(\sin(a) = \dfrac{1}{2}\)
Quelle est la mesure principale de \(\frac{23\pi}{6}\) ?
Utilise alors le tableau des valeurs remarquables pour donner son cosinus et son sinus.
Tu peux aussi placer \(-\frac{\pi}{6}\) sur le cercle trigonométrique et trouver le signe de son cosinus et de son sinus.
\(\frac{23\pi}{6}\) est dans le quatrième quart du cercle trigonométrique donc son cosinus est positif et son sinus négatif. Les propositions 2 et 4 sont à éliminer.
\(\frac{23\pi}{6}= \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6}=4\pi - \frac{\pi}{6}\) donc \(\cos( \frac{23\pi}{6}) = \cos( -\frac{\pi}{6})\) et idem pour le sinus.