L'énoncé
Répondre aux questions suivantes, il n'y qu'une seule bonne réponse par question.
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Question 1
Donner la forme factorisée du polynôme $P(x)=x^3-1$.
$P(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1)$
$P(x)=(x-1)(x^2+x+1)$
$P(x)=(x-1)(-x^2+x+1)$
$P(x)=(x-1)(x^2-x-1)$
On utilise la propriété du cours :
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$ avec $n=3$
Question 2
A quel polynôme correspond la forme factorisée suivante: $P(x)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$.
$P(x)=x^4-1$
$P(x)=x^4+1$
$P(x)=x^5-1$
$P(x)=x^3-1$
Regarde la puissance du produit des deux termes de plus au degré dans chaque membre.
Tous les coefficients du polynôme de degré $4$ sont égaux à $1$donc on est dans le cas du cours.
On reconnait la propriété du cours :
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$ avec $n=5$
Question 3
Quel est la factorisation de $P(x)=x^3+1$.
$P(x)=(x-1)(x^2+x+1)$.
$P(x)=(x+1)(x^2+x-1)$.
$P(x)=(x+1)(x^2-x+1)$.
$P(x)=(x+1)(-x^2-x-1)$.
La racine évidente est $-1$ , il faut donc factoriser par $(x+1)$
On factorise par $(x+1)$, on a donc $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$.
En développant cette expression et en l'identifiant au polynôme $P$, on obtient :
$P(x)= ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c$
$P(x)=ax^3 +(a+b)x^2+(b+c)x+c$$
Or on sait que $P(x)=x^3+1$ ou encore $P(x)=x^3+0x^2+0x+1$
On en déduit donc le système suivant :
$\left \{ \begin{array}{rccc}a & = &1 \\ a+b&=&0 \\ b+c & = & 0 \\c & = & 1 \\\end{array} \right.$
Il se résout ainsi : $\left \{ \begin{array}{rccc}a & = &1 \\ b&=&-1 \\ c & = & 1 \\ \end{array} \right.$
Donc la factorisation est $P(x)=(x+1)(x^2-x+1)$.
Autre méthode moins délicate : développer les 4 expressions et trouver celle qui convient.
Question 4
Factoriser le polynôme $P(x)=x^8-1$.
$P(x)=(x^4-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
$P(x)=(x^4-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
$P(x)=(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
$P(x)=(x-1)(x^7+x^6-x^5-x^4-x^3+x^2-x+1)$
On utilise la propriété du cours :
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$ avec $n=8$
$x^8-1=(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Question 5
Le polynôme $P(x)=(x-1)(x^4+x^3-x^2+x+1)$ est-il de la forme $x^n-1$ ? Si oui, donner la valeur de $n$.
Oui, $n=3$.
Oui, $n=4$.
Oui, $n=5$.
Non.
Les coefficients du polynôme de degré $4$ ne sont pas tous égaux à $1$ donc on ne reconnait pas l'expression :
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$