L'énoncé
On considère un triangle $ABM$ tel que $\overrightarrow{AM}(1;2)$ ; $\overrightarrow{BM}(3;5)$ et $A (1;0)$.
On note $I$ le milieu de $[AB]$. Cocher la bonne réponse.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Que vaut $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}$ ?
$13$
$-1$
$11$
$-7$
Le calcul du produit scalaire de $\overrightarrow{u}(a;b)$ et $\overrightarrow{v}(c;d)$ est $a\times c +b\times d$.
On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=1\times 3 +2\times 5=3 +10=13$
Question 2
Quelles sont les coordonnées de $B$ ?
$B(1;-3)$
$B(-1;3)$
$B(-1;-3)$
$B(1;3)$
$\overrightarrow{BM}(x_M-x_B;y_M-y_B)$.
Trouver d'abord les coordonnées du point $M$ à l'aide de l'astuce précédente.
On a d'abord besoin des coordonnées du point $M$ comme $\overrightarrow{AM}(x_M-x_A;y_M-y_A)=(1;2)$
On obtient $M(2;2)$.
De la même manière $B(-1;-3)$.
Question 3
On sait que $B(-1;-3)$. Que vaut $AB^2$ ?
$9$
$13$
$25$
$5$
$AB^2$ est la norme de $\overrightarrow{AB}$ au carré.
Calcul de la norme de $\overrightarrow{AB}$
$AB =\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}$
$AB^2$ est la norme de $\overrightarrow{AB}$ au carré.
On a donc $AB^2=(-1-1)^2+(-3-0)^2=13$.
Question 4
Que vaut la longueur $MI$ ?
$MI=\dfrac{\sqrt{39}}{4}$
$MI=\dfrac{\sqrt{39}}{2}$
$MI=\dfrac{39}{4}$
$MI=\dfrac{39}{2}$
On utilise la formule $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2 +\dfrac{AB^2}{4}$.
On utilise la formule
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=MI^2 +\dfrac{AB^2}{4}$.
On a donc $MI^2=13-\dfrac{13}{4}=\dfrac{39}{4}$
donc $MI=\dfrac{\sqrt{39}}{2}$.
Question 5
Quel est l'ensemble géométrique des points $M$ du plan tel que $MI=\dfrac{\sqrt{39}}{2}$
Un carré de côté $\dfrac{\sqrt{39}}{2}$
Un disque de rayon $\dfrac{\sqrt{39}}{2}$.
Un cercle de diamètre $\dfrac{\sqrt{39}}{2}$ et de centre $I$.
Un cercle de rayon $\dfrac{\sqrt{39}}{2}$ et de centre $I$.
Il faut que tous les points soient à égale distance de $I$.
Il s'agit du cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{39}}{2}$