Fiche de cours
Transformation de l'expression $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MB}$ - Recherche de lieux géométriques
I) Transformation de l'expression $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MB}$ .
Propriété :
Soient $A$ et $B$ deux points et $I$ milieu de $[AB]$,
Pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MB} = {MI}^2 - \dfrac{{AB}^2}{4}$.
Rappels :
Le produit scalaire $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MA}$ peut être calculé de différentes manières.
Il peut être calculé en considérant le produit de la norme de $\overrightarrow{MA}$ par la norme du projeté orthogonal de $\overrightarrow{MA}$ sur lui même, à savoir lui même.
Autrement dit, $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MA} = MA \times MA = {MA}^2$, où $MA = \| \overrightarrow{MA} \|$.
On peut aussi utiliser la formule faisant intervenir le cosinus de l'angle orienté entre les deux vecteurs :
$\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MA} = MA \