I. Rappel : la masse volumique

La masse volumique est notée $\rho,$ elle s'exprime en kilogramme par mètre cube : Kg/m³ qui s’écrit aussi Kg m^-3. C'est la masse par unité de volume.

Par exemple : l’eau liquide à 20°C est d’environ 998kg/m³ ou en ordre de grandeur 10³ kg/m³. C’est souvent cette deuxième valeur que l’on prend si on veut simplifier les applications numériques.

Liquides et solides

Les liquides et les solides sont en général incompressibles, c’est-à-dire que l’on a beau compresser un liquide, de l’eau par exemple, on a du mal à faire changer le volume. Ainsi $\rho$ est une constante, la masse volumique est une constante. 1 mètre cube d’eau reste toujours le même mètre cube, même si l’on augmente la pression, il y a toujours une masse de 998 kg.

Gaz

On peut compresser un gaz : on met un gaz dans une boîte, on découpe le haut de la boîte et on appuie dessus, le gaz à l’intérieur va se trouver compressé car dans le modèle microscopique du gaz, les particules sont très éloignées les unes des autres. On a donc une grande marge de manœuvre pour les rapprocher.

Cela engendre le fait qu’en prenant un mètre cube de gaz qui pèse par exemple $1$ gramme, on le compresse, ce $1$ gramme va prendre $\dfrac{1}{2}m^3$ à la place d’ $1m^3$. Ainsi, on a $\dfrac{1}{2}m^3$ à la place de $1m^3$ pour $1$ gramme, ce qui voudrait dire que $1m^3$ pèserait $2$ grammes. On vient de changer la masse volumique du gaz !

Dans le cas d’un gaz compressible, la masse volumique $\rho$ est une fonction de la pression et non pas une constante : $\rho = f (\rho).$ 

II. Loi fondamentale de la statique des fluides

La loi fondamentale de la statique des fluides n’est valable que pour les fluides incompressibles. Donc on oublie les gaz, sauf si dans un exercice on dit que le gaz est considéré comme incompressible.

Il faut associer un schéma et une formule pour définir cette loi.

Le schéma est un axe vers le haut avec deux points, $A$ et $B,$ alignés verticalement. Le point $A$ est à une altitude $z_A,$ le point $B$ est à une altitude $z_B.$ Dans toute la zone, il y a un fluide incompressible. La loi fondamentale de la statique des fluides permet d’écrire :

$P_A + \rho \times g \times z_A = P_B + \rho \times g \times z_B$ 

$g$ est l’intensité de pesanteur.

Si l’axe est vers le bas, il faut mettre un moins à la place du plus : 

$P_A - \rho \times g \times z_A = P_B - \rho \times g \times z_B$ 

La pression $P$ est en pascal, la masse volumique en kg/m³, l’intensité de pesanteur est en N/kg (Newton), (à Paris, la valeur est de $9,81$), $z_A$ et $z_B$ en mètre.

Exemple

Trouver la pression dans l’eau à $10$ mètres de profondeur.

On utilise la version simplifiée de la valeur avec $\rho = 10^3 kg/m^3,$ pareil pour $g$ avec $g=10N/kg.$

On considère que l’eau est un fluide incompressible, on peut donc utiliser la loi fondamentale de la statique des fluides. On fait d’abord le schéma, ne jamais négliger cette étape où l’on schématise la situation donnée.

En $A,$ on a un plongeur qui, au lieu d’être à la surface de l’eau, est à $10$ mètres de profondeur, mais comme il est dans l’eau en profondeur, son altitude, si on a $0$ à la surface, est $-10.$ Puis, on rappelle la formule $P_A +\rho gz_A = P_B +\rho gz_B$

$z_A$ est $0,$ ainsi $\rho gz_A$ vaut $0.$

Que vaut $P_A$ ?

C’est la pression à la surface de l’eau. C’est donc entre l’air qui est au-dessus et l’eau qui est en-dessous. La pression est donc en continuité entre celle à la surface de l’air et celle à la surface de l’eau. Juste au-dessus du point $A$ et juste en-dessous du point $A,$ on a la même pression. À cet endroit, la pression est celle de l’air, ce que l’on appelle la pression atmosphérique.

Donc $P_A = P$ atmosphérique. On va l’approximer à $1$ bar, c’est-à-dire $10^5$ Pascal.

Puis on isole $P_B,$ donc $\rho gz_B$ passe de l’autre côté. Cela fait $P_B = P_A - \rho gz_B.$

Ainsi on a toutes les valeurs. On n’oublie pas que $z_B$ vaut $-10.$ En faisant le calcul, on trouve $2 \times 10^5$ Pa.

Il faut refaire le calcul pour vérifier que c’est bon. Cela fait à peu près $2$ bars.

Donc, en plongeant de $10$ mètres on a gagné $1$ bar. Si on replonge $10$ mètres plus bas, on regagne $1$ bar, etc. Tous les $10$ mètres, la pression augmente de $1$ bar sous l’eau. Cela veut dire que l’on sent la pression qui s’exerce sur notre corps. C’est pour cela que notre corps a ses limites, on ne peut pas plonger à des profondeurs extraordinaires, sans quoi la pression sur notre corps, nos os, nos organes serait trop importante, le corps ne pourrait pas résister.