Équation produit nul

Définition

Une équation produit nul est une équation s'écrivant sous la forme d'un produit dont le résultat est nul. 

Exemple

Considérons par exemple l'équation :

$x(x^2 - 9)(1 - x) = 0$

Pour résoudre cette équation, il ne faut pas développer. Il faut factoriser l'expression, et en particulier le terme $x^2 - 9$ :

On reconnait une identité remarquable et on réécrit ainsi ce terme sous la forme $(x - 3)(x + 3)$.  

L'équation dévient :

$x(x - 3)(x + 3)(1 - x) = 0$. 

Or un produit est nul si au moins l'un de ces facteurs est nul. 

L'équation s'écrit alors :
$x = 0$ OU $x - 3 = 0$ OU $x + 3 = 0$ OU $1 -x = 0$

On résout alors séparément chacune de ces équations. 
$x = 0$ OU $x = 3 $ OU $x = -3$ OU $x = 1$

Les solutions sont donc $S = \{-3; 0; 1; 3\}$.