Comparaison des moyennes géométriques et arithmétiques

Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs,

on définit la moyenne arithmétique par $\alpha = \dfrac{a + b}{2}$ et la moyenne géométrique par $\beta = \sqrt{ab}$. 

Exemples :

Pour appréhender la moyenne géométrique, on s'intéresse à l'exemple suivant. 

On place $1000$ € sur un compte à un taux de 2% l'année 1 et 3% l'année 2.  

Pour savoir la somme que l'on possède au bout de deux ans, on effectue le calcul suivant : $1000 \times 1,02 \times 1,03 = 1050,6$ €

On se demande à présente le taux moyen qu'il faudrait choisir, c'est à dire un taux sui serait le même les années 1 et 2 et qui permettrait d'obtenir la même somme au bout de deux ans. 

Ainsi en notant $q$ le taux moyen, on doit résoudre l'équation suivante : $1000 \times q \times q = 1000 \times 1,02 \times 1,03$ c'est à dire $q^2 = 1,02 \times 1,03$.

La solution est donc $q = \sqrt{1,03 \times 1,02} \approx 1,0249$. 

Comparaison de moyenne arithmétique et géométrique.

Pour ce faire, on étudie le signe de la différence de $\alpha$ et $\gamma$ : 

$\alpha - \gamma = \dfrac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \dfrac{a + b -2 \sqrt{ab}}{2} = \dfrac{\sqrt{a}^2 + \sqrt{b}^2 -2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2}$.

On reconnait alors une identité remarquable.

Ainsi, $\alpha - \gamma = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geq 0$ car la fonction carrée est toujours positive. 

On en conclut alors que $\alpha \geq \gamma$. 

En outre, $\alpha = \gamma \iff \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = 0 \iff a = b$. 

Exemple d'application

Soit $f : x \mapsto x + \dfrac{1}{x}$ définie pour $x > 0$. 

On cherche l'existence et la valeur du minimum de $f$. 

Soit $x > 0$,

on sait que la moyenne arithmétique de $x$ et $\dfrac{1}{x}$ est plus grande que leur moyenne géométrique, ainsi

$\dfrac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \times \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1$.

Ainsi, $f(x) \geq 2$. 

On vient de montrer que $f$ était minoré par $2$. 

On se demande alors si $2$ est un minimum, c'est à dire si il existe une valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 2$. 

Cette valeur est atteinte pour le cas d'égalité des moyennes géométrique et arithmétique, c'est à dire pour $x = \dfrac{1}{x}$ d'après la propriété précédente, ce qui est équivalent à $x = 1$. 

Finalement, $f$ possède un minimum valant $2$ et atteint en $x= 1$.