Factorisation d'un polynôme par $(z- a)$

Factorisation d'un polynôme par $(z- a)$

Propriété

Soit $P$ un polynôme de la forme

$P(z) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k z^k}$ avec $z\in \mathbb{C}$

$a$ est racine de$ P \iff$ on peut factoriser $P$ par $(z-a)$

Démonstration

Voici la démonstration du théorème, on procède par double implication.

L'implication la plus simple, celle de droite à gauche, se démontre ainsi : si l'on peut factoriser $P$ par $(z-a)$ alors

$P(z) = (z-a) Q(z)$ où $Q$ est un polynôme.

Dans ce cas, $P(a) = 0 \times Q(a) = 0$

Réciproquement, Si l'on suppose que $P(a) = 0$ alors, puisque $P(z) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k z^k}$

Alors

$P(z) - P(a) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k (z^k - a^k)}$

$P(z) - P(a) = (z-a) \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\displaystyle\sum\limits_{j=01}^{k-1}{z^k a^{k-1-j}}}$

Or $P(a)=0$ donc 

$P(z) = (z-a) \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\displaystyle\sum\limits_{j=01}^{k-1}{z^k a^{k-1-j}}}$

$(z-a)$ est donc un facteur de $P$.