Fiche de cours
Les nombres premiers
Définition
Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.
$n$ est premier si et seulement si $n$ admet deux diviseurs : 1 et lui-même.
Théorème
Tout $n\in \mathbb{N}$ avec $n\geq 2$ admet au moins un diviseur premier.
Si $n$ n'est pas premier et $n\geq 2$ alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et $\sqrt{n}$
Décomposition en facteurs premiers
Théorème
Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.
$\;n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ......... p_r^{\alpha_r}\;$
Avec ${p_i}, {i \in \{1;r\}}$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_i, {i \in \{1;r\}}$ des entiers.
Exemple
On décompose 96 en produit de facteurs premiers :
étape 1 : On cherche à diviser 96 par un nombre premier.
étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.
étape 3 : On continue tant qu'on peut diviser par 2 ou par les entiers premiers suivants.
étape 4 : On s'arrête lorsque le reste vaut