Fiche de cours
Factorisation de $x^n - a^n$ par $x - a$
Préambule
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,
Soit $a \in \mathbb{R}^*$,
On définit le polynôme $P$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = x^n - a^n$.
Comme $a$ est une racine évidente du polynôme, $P$ se factorise sous la forme $P(x) = (x - a) \times Q(x)$ avec $Q$ un polynôme de degré $n - 1$.
On se demande si il est possible d'expliciter le polynôme $Q$.
On suppose que $a = 3$.
Si $n = 2$, alors $P(x) = x^2 - 9$.
On reconnait ici une identité remarquable qui donne la factorisation directement.
Ainsi $P(x) = (x - 3)(x + 3)$.
Si $n = 3$ alors $P(x) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.
Ainsi on peut factoriser $x$ pour la forme $P(x) = (x - 3)(ax^2 + bx + c)$.
En développant l'expression, on trouve que $P$ s'écrit sous la forme $P(x) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.
Si $n = 4$ alors $P(x) = x^3 - 3^4 = x^3 - 81$.
Ainsi on peut factoriser $x$ pour la forme $P(x) = (x - 3)(ax^3 + bx^2 + cx + d)$.
On développe l'expression puis on conclut par égalité des coefficients de deux polynômes égaux, on trouve que $P$ s'écrit sous la forme
$P(x) = (x - 3)(x^2 + 3x^2 + 9x + 27)$.
On peut alors remarquer que lorsque