Polynômes s'annulant en 2 nombres réels distincts

Polynôme s'annulant en deux nombres réels distincts

Factorisation d'un polynôme de discriminant positif

Soit $P$ un polynôme du second degré défini sur $\mathbb{R}$ par $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a, \, b, \, c$ trois réels ($a \neq 0$). 

On suppose que le discriminant est strictement positif, ($\Delta > 0)$. 

Le polynôme admet donc deux racines $x_1$ et $x_2$ telles que $P(x_1) = 0$ et $P(x_2) = 0$.

Le polynôme $P$ se factorise donc sous la forme $P(x) = a (x - x_1) (x - x_2)$. 

Exemple 1 : deux racines évidentes

On suppose que $P(x) = 3x^2 + 3x - 18$. 

Il n'est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant.

On peut tester avec la calculatrice certaines valeurs évidentes de $x$ comme $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...$.

On trouve que $P(-3) = 0$ et $P(2) = 0$. 

Ainsi $P(x) = 3 (x - 2) (x - (-3)) = 3(x - 2)(x + 3)$. 

Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. 
Comme $a = 3 > 0$, la parabole est dirigée "vers le haut".